Integral Tentu dan Luas Daerah: Teorema Dasar Kalkulus, Luas antara Dua Kurva, dan Contoh Soal

Integral tentu adalah integral yang punya batas bawah dan batas atas, sehingga hasilnya bukan lagi fungsi + C, melainkan sebuah bilangan. Bilangan itu punya arti yang sangat konkret: luas daerah di antara kurva dan sumbu x. Karena itu, materi ini hampir selalu muncul bersama soal luas daerah.

Kalau di catatan integral tak tentu kita sibuk mencari fungsi asal, di sini fungsi asal itu langsung dipakai untuk menghitung sesuatu. Kabar baiknya, kamu tidak perlu rumus baru yang rumit. Cukup antiturunan, lalu kurangkan nilainya di dua batas. Yang perlu dilatih justru ketelitian: tanda negatif, batas yang tertukar, dan daerah yang ada di bawah sumbu x.

Setelah membaca catatan ini, kamu bisa:

• Membaca notasi integral tentu dan menghitungnya dengan Teorema Dasar Kalkulus.
• Memakai sifat-sifat integral tentu untuk menyederhanakan soal.
• Menghitung luas daerah di atas maupun di bawah sumbu x dengan benar.
• Menentukan luas daerah antara dua kurva, dimulai dari mencari titik potongnya.
• Mengenal rumus volume benda putar secara singkat.

Notasi Integral Tentu dan Teorema Dasar Kalkulus

Integral tentu ditulis dengan dua angka kecil di lambang integral. Angka di bawah adalah batas bawah (a), angka di atas adalah batas atas (b). Cara menghitungnya dirangkum dalam satu teorema yang menghubungkan turunan dan integral, yaitu Teorema Dasar Kalkulus.

∫_a^b f(x) dx = [F(x)]_a^b = F(b) − F(a)     dengan F′(x) = f(x)

Langkahnya selalu sama:

1. Cari antiturunan F(x) seperti biasa, tetapi tanpa + C.
2. Tulis dalam kurung siku [F(x)] dengan batas di kanan atas dan kanan bawah.
3. Substitusikan batas atas, lalu kurangi dengan hasil substitusi batas bawah.

Kenapa C boleh dibuang? Kalau kita tetap menulisnya, hasilnya (F(b) + C) − (F(a) + C), dan kedua C saling menghapus. Jadi antiturunan mana pun yang kamu pilih, jawabannya tetap sama.

Hitunglah ∫₁³ (3x² − 2x + 1) dx.

Lihat pembahasan

Antiturunannya F(x) = x³ − x² + x.

F(3) = 27 − 9 + 3 = 21 dan F(1) = 1 − 1 + 1 = 1.

Jadi ∫₁³ (3x² − 2x + 1) dx = 21 − 1 = 20.

Teknik substitusi dari integral tak tentu juga tetap berlaku. Kamu bisa mengintegralkan dulu, mengembalikan u ke x, lalu baru memasukkan batas.

Hitunglah ∫₀¹ (2x + 1)³ dx.

Lihat pembahasan

Dengan pola ∫ (ax + b)ⁿ dx = (ax + b)ⁿ⁺¹/[a(n + 1)], antiturunannya F(x) = (2x + 1)⁴/8.

F(1) = 3⁴/8 = 81/8 dan F(0) = 1⁴/8 = 1/8.

Hasilnya 81/8 − 1/8 = 80/8 = 10.

Sifat-Sifat Integral Tentu

Sifat-sifat berikut sering dipakai di soal yang tidak memberi rumus fungsi secara lengkap, hanya nilai beberapa integral. Semuanya bisa dibuktikan langsung dari F(b) − F(a).

1. ∫_a^a f(x) dx = 0

2. ∫_a^b f(x) dx = −∫_b^a f(x) dx   (batas ditukar, tanda berubah)

3. ∫_a^b k · f(x) dx = k ∫_a^b f(x) dx

4. ∫_a^b [f(x) ± g(x)] dx = ∫_a^b f(x) dx ± ∫_a^b g(x) dx

5. ∫_a^b f(x) dx + ∫_b^c f(x) dx = ∫_a^c f(x) dx

Sifat ke-5 artinya interval boleh dipotong-potong lalu hasilnya dijumlahkan. Sifat ini nanti penting sekali saat menghitung luas daerah yang sebagian di atas dan sebagian di bawah sumbu x.

Diketahui ∫₁⁴ f(x) dx = 6 dan ∫₁⁴ g(x) dx = −2. Tentukan ∫₁⁴ [3f(x) − 2g(x) + 1] dx.

Lihat pembahasan

Pecah dengan sifat 3 dan 4:

3 · 6 − 2 · (−2) + ∫₁⁴ 1 dx = 18 + 4 + [x]₁⁴ = 22 + (4 − 1).

Hasilnya 25. Hati-hati, ∫ 1 dx di sini bernilai 3 (panjang interval), bukan 1.

Luas Daerah di Bawah Kurva

Bayangkan daerah yang dibatasi kurva y = f(x), sumbu x, garis x = a, dan garis x = b. Daerah ini bisa dipotong menjadi pita-pita tegak yang sangat tipis. Setiap pita kira-kira berbentuk persegi panjang dengan tinggi f(x) dan lebar dx, jadi luasnya f(x) dx. Lambang ∫, yang berasal dari huruf S untuk summa, menjumlahkan semua pita itu dari a sampai b.

Daerah di Atas Sumbu x

Jika f(x) ≥ 0 pada a ≤ x ≤ b, maka L = ∫_a^b f(x) dx

Tentukan luas daerah yang dibatasi kurva y = x² + 1, sumbu x, garis x = 0, dan garis x = 3.

Lihat pembahasan

Kurva y = x² + 1 selalu bernilai positif, jadi seluruh daerahnya ada di atas sumbu x.

L = ∫₀³ (x² + 1) dx = [⅓x³ + x]₀³ = (9 + 3) − 0 = 12 satuan luas.

Daerah di Bawah Sumbu x

Jika kurva berada di bawah sumbu x, nilai f(x) negatif, sehingga integralnya juga negatif. Padahal luas tidak mungkin negatif. Solusinya sederhana: beri tanda minus di depan integral, atau ambil nilai mutlaknya.

Jika f(x) ≤ 0 pada a ≤ x ≤ b, maka L = −∫_a^b f(x) dx = |∫_a^b f(x) dx|

Tentukan luas daerah yang dibatasi kurva y = x² − 4x dan sumbu x.

Lihat pembahasan

Batasnya belum diberikan, jadi cari dulu titik potong kurva dengan sumbu x: x² − 4x = 0 → x(x − 4) = 0 → x = 0 atau x = 4.

Di antara 0 dan 4, misalnya x = 1, nilai y = 1 − 4 = −3. Jadi daerahnya ada di bawah sumbu x.

∫₀⁴ (x² − 4x) dx = [⅓x³ − 2x²]₀⁴ = 64/3 − 32 = −32/3.

Luasnya 32/3 satuan luas (sekitar 10,67).

Daerah yang Sebagian di Atas dan Sebagian di Bawah

Inilah jebakan favorit pembuat soal. Kalau kurva memotong sumbu x di antara a dan b, bagian positif dan negatif akan saling mengurangi bila langsung diintegralkan sekali jalan. Hasilnya memang nilai integral tentu, tetapi bukan luas. Potong intervalnya di titik potong, hitung luas tiap bagian, lalu jumlahkan.

Tentukan luas daerah yang dibatasi kurva y = x² − 1, sumbu x, garis x = 0, dan garis x = 2.

Lihat pembahasan

Kurva memotong sumbu x di x = 1 (dan x = −1, tetapi itu di luar interval). Pada 0 ≤ x ≤ 1 kurva di bawah sumbu x, pada 1 ≤ x ≤ 2 di atasnya.

Antiturunan: F(x) = ⅓x³ − x, dengan F(0) = 0, F(1) = −⅔, F(2) = ⅔.

Bagian kiri: ∫₀¹ = F(1) − F(0) = −⅔, sehingga luasnya ⅔.

Bagian kanan: ∫₁² = F(2) − F(1) = ⅔ + ⅔ = 4/3.

Luas total = ⅔ + 4/3 = 2 satuan luas.

Bandingkan dengan ∫₀² (x² − 1) dx = ⅔. Angka ini jelas lebih kecil karena bagian bawah "memakan" bagian atas.

Sebelum menghitung luas, biasakan sketsa kasar grafiknya atau minimal uji tanda f(x) di setiap potongan interval. Sepuluh detik untuk sketsa jauh lebih murah daripada kehilangan poin karena salah tanda.

Luas Daerah antara Dua Kurva

Sekarang daerahnya diapit dua kurva, misalnya y₁ di atas dan y₂ di bawah. Ide pitanya tetap sama, hanya tinggi pita sekarang adalah kurva atas dikurangi kurva bawah. Kalau batas x belum disebutkan, batasnya adalah absis titik potong kedua kurva.

L = ∫_a^b (y_atas − y_bawah) dx

a dan b = absis titik potong kedua kurva (jika tidak diberikan)

Urutan kerjanya:

1. Samakan kedua persamaan untuk mencari titik potong.
2. Tentukan kurva mana yang di atas dengan menguji satu nilai x di antara titik potong.
3. Integralkan (atas − bawah) dari titik potong kiri ke titik potong kanan.

Rumus ini tetap benar walaupun sebagian daerah ada di bawah sumbu x, asalkan kurva atas tetap di atas kurva bawah sepanjang interval. Selisihnya selalu positif, jadi tidak perlu dipotong di sumbu x.

Tentukan luas daerah yang dibatasi kurva y = x² dan garis y = x + 2.

Lihat pembahasan

Titik potong: x² = x + 2 → x² − x − 2 = 0 → (x − 2)(x + 1) = 0 → x = −1 atau x = 2. Titik potongnya (−1, 1) dan (2, 4).

Mana yang di atas? Uji x = 0: garis bernilai 2, parabola bernilai 0. Jadi garis y = x + 2 di atas.

L = ∫₋₁² (x + 2 − x²) dx = [½x² + 2x − ⅓x³]₋₁²

Di x = 2: 2 + 4 − 8/3 = 10/3. Di x = −1: ½ − 2 + ⅓ = −7/6.

L = 10/3 − (−7/6) = 20/6 + 7/6 = 27/6 = 9/2 satuan luas.

Gambar berikut memperlihatkan daerah pada contoh di atas. Pita oranye adalah salah satu "potongan tipis" yang tingginya (x + 2) − x². Integral menjumlahkan semua pita seperti itu dari x = −1 sampai x = 2.

Jalan pintas untuk soal pilihan ganda: jika selisih kedua kurva (atau kurva dengan sumbu x) membentuk persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 dengan diskriminan D = b² − 4ac, luas daerah di antara kedua titik potongnya adalah L = D√D / (6a²). Pada contoh tadi x² − x − 2 = 0 memberi D = 9, sehingga L = 9 · 3 / 6 = 9/2. Cocok. Rumus ini hanya berlaku jika batasnya adalah kedua titik potong itu.

Sekilas Volume Benda Putar

Kalau daerah di bawah kurva y = f(x) diputar 360° mengelilingi sumbu x, terbentuklah benda putar. Setiap pita tegak tadi ikut berputar menjadi cakram tipis berjari-jari y, dengan luas lingkaran πy². Menjumlahkan semua cakram dari a ke b memberi rumus volume.

V = π ∫_a^b y² dx = π ∫_a^b [f(x)]² dx

Daerah yang dibatasi kurva y = √x, sumbu x, dan garis x = 4 diputar 360° mengelilingi sumbu x. Tentukan volume benda putar yang terbentuk.

Lihat pembahasan

y² = (√x)² = x, dan daerahnya mulai dari x = 0.

V = π ∫₀⁴ x dx = π [½x²]₀⁴ = π (8 − 0) = 8π satuan volume.

Volume benda putar dibahas lebih dalam di kelas lanjutan, termasuk perputaran terhadap sumbu y dan daerah di antara dua kurva. Untuk sekarang, cukup pahami bahwa kuncinya adalah mengkuadratkan y dulu, baru diintegralkan.

Kesalahan Umum pada Integral Tentu dan Luas

• Mengurangkan terbalik. Yang benar F(batas atas) − F(batas bawah), bukan sebaliknya.
• Salah tanda saat substitusi batas negatif. Untuk x = −1, (−1)³ = −1 tetapi (−1)² = 1. Tulis tanda kurung saat menyubstitusi.
• Menganggap integral tentu selalu sama dengan luas. Integral tentu bisa negatif atau saling menghapus. Luas selalu positif.
• Lupa mencari titik potong. Kalau soal hanya menyebut "dibatasi kurva dan sumbu x" atau "dibatasi dua kurva", batasnya harus dicari sendiri.
• Tertukar kurva atas dan bawah. Hasilnya akan negatif. Uji satu nilai x di tengah interval sebelum mulai menghitung.
• Lupa mengkuadratkan y pada volume benda putar, atau lupa faktor π.

Latihan Soal Integral Tentu dan Luas Daerah

1. Hitunglah ∫₋₁² (4x³ − 6x) dx.
   Kunci jawaban

   [x⁴ − 3x²]₋₁² = (16 − 12) − (1 − 3) = 4 + 2 = 6.

2. Jika ∫₁^a (2x − 3) dx = 6 dan a > 1, tentukan nilai a.
   Kunci jawaban

   [x² − 3x]₁^a = (a² − 3a) − (−2) = a² − 3a + 2 = 6.

   a² − 3a − 4 = 0 → (a − 4)(a + 1) = 0. Karena a > 1, a = 4.

3. Tentukan luas daerah yang dibatasi kurva y = x² − 6x + 5 dan sumbu x.
   Kunci jawaban

   Titik potong x = 1 dan x = 5; daerahnya di bawah sumbu x.

   ∫₁⁵ (x² − 6x + 5) dx = −32/3, jadi luasnya 32/3 satuan luas. (Cek cepat: D = 16, L = 16 · 4 / 6 = 32/3.)

4. Tentukan luas daerah yang dibatasi kurva y = x² − 2x + 4 dan garis y = 2x + 1.
   Kunci jawaban

   x² − 2x + 4 = 2x + 1 → x² − 4x + 3 = 0 → x = 1 atau x = 3. Garis di atas (uji x = 2: garis 5, parabola 4).

   L = ∫₁³ (−x² + 4x − 3) dx = [−⅓x³ + 2x² − 3x]₁³ = 0 − (−4/3) = 4/3 satuan luas.

5. Daerah yang dibatasi garis y = 2x, sumbu x, dan garis x = 3 diputar 360° mengelilingi sumbu x. Tentukan volume benda putarnya.
   Kunci jawaban

   V = π ∫₀³ (2x)² dx = π [43x³]₀³ = π · 36 = 36π satuan volume.

   Benda putarnya kerucut dengan r = 6 dan t = 3, dan ⅓ · π · 6² · 3 = 36π. Cocok.

Ringkasan Rumus Integral Tentu

Konsep	Rumus
Teorema Dasar Kalkulus	∫ab f(x) dx = F(b) − F(a)
Batas ditukar	∫ab f dx = −∫ba f dx
Memecah interval	∫ab f dx + ∫bc f dx = ∫ac f dx
Luas di atas sumbu x	L = ∫ab f(x) dx
Luas di bawah sumbu x	L = −∫ab f(x) dx
Luas antara dua kurva	L = ∫ab (yatas − ybawah) dx
Jalan pintas kuadrat	L = D√D / (6a2)
Volume benda putar (sumbu x)	V = π ∫ab y2 dx

Pertanyaan yang Sering Ditanyakan

Apa beda integral tentu dan integral tak tentu?

Integral tak tentu menghasilkan keluarga fungsi F(x) + C. Integral tentu memakai batas a dan b sehingga hasilnya satu bilangan, F(b) − F(a). Cara mencari antiturunannya sama persis, jadi pastikan kamu sudah lancar integral tak tentu lebih dulu.

Kenapa integral tentu tidak memakai + C?

Karena konstanta C muncul di F(b) dan di F(a), lalu saling menghapus saat dikurangkan. Menulis C tidak salah, tetapi tidak mengubah hasil.

Apakah integral tentu bisa bernilai negatif?

Bisa. Jika daerahnya di bawah sumbu x, atau batas atas lebih kecil dari batas bawah, hasilnya negatif. Yang tidak bisa negatif adalah luas, sehingga untuk luas kita ambil nilai mutlak tiap bagian.

Bagaimana tahu kurva mana yang di atas?

Ambil satu nilai x di antara kedua titik potong, misalnya bilangan bulat yang paling gampang, lalu substitusikan ke kedua persamaan. Kurva dengan nilai y lebih besar berarti kurva atas pada seluruh interval itu (selama kedua kurva tidak berpotongan lagi di dalamnya).

Kapan rumus L = D√D / (6a²) boleh dipakai?

Hanya jika daerahnya dibatasi parabola dan garis (atau dua parabola, atau parabola dan sumbu x) dan batas integralnya tepat kedua titik potong. Jika batasnya garis x = a dan x = b yang lain, kembali ke integral biasa.

Apa yang harus dikuasai sebelum belajar integral tentu?

Kuasai turunan fungsi aljabar, integral tak tentu, serta cara mencari akar persamaan kuadrat untuk titik potong. Catatan lain yang berkaitan ada di label Matematika.