Statistika: Mean, Median, Modus, Kuartil, dan Simpangan Baku (Data Tunggal & Berkelompok)

Statistika adalah cabang matematika yang mempelajari cara mengumpulkan, menyajikan, dan menyimpulkan data. Di SMA, intinya ada tiga: mencari pusat data (mean, median, modus), letak data (kuartil), dan seberapa menyebar data itu (jangkauan, ragam, simpangan baku).

Kenapa tidak cukup satu angka rata-rata? Dua kelas bisa sama-sama punya rata-rata ulangan 75, tetapi kelas pertama nilainya rapat di sekitar 75, sementara kelas kedua ada yang 40 dan ada yang 100. Angka pusat dan angka sebaran harus dibaca bersama supaya gambaran datanya utuh.

Setelah membaca catatan ini, kamu bisa:

• Menghitung mean, median, dan modus data tunggal maupun data berkelompok.
• Menentukan kuartil, jangkauan, dan jangkauan antarkuartil.
• Menghitung ragam (varians) dan simpangan baku.
• Membaca tabel distribusi frekuensi dan histogram.

Istilah Dasar dalam Statistika

Sebelum masuk rumus, samakan dulu bahasanya:

• Datum: satu nilai hasil pengamatan, misalnya massa satu buah jeruk. Kumpulan datum disebut data.
• Data tunggal: data yang ditulis apa adanya satu per satu, misalnya 12, 15, 15, 18.
• Data berkelompok: data yang sudah diringkas ke dalam kelas-kelas interval, misalnya 151–160 gram ada 2 buah.
• n: banyak data. Simbol Σ (sigma) berarti "jumlahkan semuanya".

Ukuran Pemusatan Data Tunggal: Mean, Median, Modus

Mean (rata-rata hitung)

Mean adalah nilai yang didapat kalau semua data "dibagi rata". Jumlahkan semua data, lalu bagi dengan banyaknya.

x̄ = x₁ + x₂ + … + x_nn = Σx_in

Median (nilai tengah)

Median adalah datum yang posisinya tepat di tengah setelah data diurutkan dari kecil ke besar. Separuh data berada di bawahnya, separuh lagi di atasnya.

n ganjil: Me = x_(n+1)/2     n genap: Me = x_n/2 + x_{n/2 + 1}2

Modus (nilai paling sering muncul)

Modus adalah datum dengan frekuensi terbesar. Data boleh punya satu modus, dua modus, atau tidak punya modus sama sekali kalau semua nilai muncul sama banyak.

Klub robotik mencatat waktu (menit) yang dibutuhkan 10 anggotanya untuk merakit satu modul sensor: 14, 18, 12, 15, 18, 24, 13, 18, 16, 16. Tentukan mean, median, dan modusnya.

Lihat pembahasan

Jumlah data = 14 + 18 + 12 + 15 + 18 + 24 + 13 + 18 + 16 + 16 = 164, sehingga x̄ = 164/10 = 16,4 menit.

Data urut: 12, 13, 14, 15, 16, 16, 18, 18, 18, 24. Karena n = 10 (genap), median adalah rata-rata data ke-5 dan ke-6: Me = (16 + 16)/2 = 16 menit.

Nilai 18 muncul 3 kali, paling sering. Jadi modus = 18 menit.

Perhatikan, mean (16,4) sedikit lebih besar daripada median (16) karena ada satu anggota yang butuh 24 menit. Satu nilai ekstrem bisa menarik mean, tetapi median hampir tidak terpengaruh.

Mean juga sering dipakai untuk menggabungkan dua kelompok. Rumusnya berasal dari ide sederhana: total nilai = rata-rata × banyak data.

x̄_gab = n₁·x̄₁ + n₂·x̄₂n₁ + n₂

Rata-rata skor 24 peserta lomba cerdas cermat antarkelas adalah 68. Setelah satu peserta dari babak susulan ikut dihitung, rata-rata seluruh peserta naik menjadi 69. Berapa skor peserta susulan itu?

Lihat pembahasan

Total skor 24 peserta awal = 24 × 68 = 1.632.

Total skor 25 peserta = 25 × 69 = 1.725.

Skor peserta susulan = 1.725 − 1.632 = 93.

Kuartil dan Jangkauan Antarkuartil (Ukuran Letak)

Kalau median membelah data menjadi dua bagian sama banyak, kuartil membelahnya menjadi empat. Q₁ (kuartil bawah) memisahkan 25% data terkecil, Q₂ sama dengan median, dan Q₃ (kuartil atas) memisahkan 25% data terbesar.

Konvensi di catatan ini: untuk data tunggal, urutkan data lalu belah di median. Q₁ adalah median separuh bawah dan Q₃ adalah median separuh atas. Jika n ganjil, median sendiri tidak ikut ke separuh mana pun. Sebagian buku memakai letak Q_i = data ke-i(n + 1)4 dengan interpolasi; untuk n = 3, 7, 11, 15, … kedua cara memberi hasil yang sama.

Dari kuartil, kita bisa mengukur sebaran data tanpa terganggu nilai ekstrem.

J = x_maks − x_min     JAK = Q₃ − Q₁     Q_d = 12(Q₃ − Q₁)

Q_d disebut simpangan kuartil (jangkauan semi-antarkuartil). JAK menunjukkan lebar wilayah tempat 50% data bagian tengah berkumpul.

Massa sampah plastik (kg) yang disetor 11 kelas ke bank sampah sekolah selama sebulan adalah 27, 35, 22, 41, 30, 38, 25, 33, 29, 47, 31. Tentukan Q₁, Q₂, Q₃, jangkauan, dan jangkauan antarkuartilnya.

Lihat pembahasan

Data urut: 22, 25, 27, 29, 30, 31, 33, 35, 38, 41, 47.

n = 11, jadi median adalah data ke-6: Q₂ = 31.

Separuh bawah: 22, 25, 27, 29, 30 → Q₁ = 27.

Separuh atas: 33, 35, 38, 41, 47 → Q₃ = 38.

J = 47 − 22 = 25 kg, JAK = 38 − 27 = 11 kg, dan Q_d = 5,5 kg.

Ragam (Varians) dan Simpangan Baku Data Tunggal

Jangkauan hanya melihat dua nilai, yaitu terbesar dan terkecil. Ragam lebih adil karena melibatkan semua data. Idenya: hitung jarak tiap datum ke rata-rata, kuadratkan (supaya selisih negatif tidak saling menghapus dengan yang positif), lalu rata-ratakan.

s² = Σ(x_i − x̄)²n     s = √s²

Karena dikuadratkan, satuan ragam ikut kuadrat (misalnya kg²). Itulah sebabnya kita mengakarkannya menjadi simpangan baku s, yang satuannya kembali sama dengan data. Makin besar s, makin menyebar data dari rata-ratanya.

Banyak buku yang dipinjam dari perpustakaan kelas selama 6 hari berturut-turut adalah 4, 6, 7, 9, 9, 13. Hitunglah ragam dan simpangan bakunya.

Lihat pembahasan

x̄ = (4 + 6 + 7 + 9 + 9 + 13)/6 = 48/6 = 8.

xi	xi − x̄	(xi − x̄)2
4	−4	16
6	−2	4
7	−1	1
9	1	1
9	1	1
13	5	25
Jumlah		48

s² = 48/6 = 8, sehingga s = √8 = 2√2 ≈ 2,83 buku.

Cek cepat: jumlah kolom x_i − x̄ selalu 0. Kalau hasilmu bukan 0, berarti ada salah hitung di mean.

Trik transformasi data: jika setiap datum ditambah c, maka mean, median, modus, dan kuartil ikut bertambah c, tetapi jangkauan, JAK, ragam, dan simpangan baku tidak berubah (datanya hanya bergeser). Jika setiap datum dikali k (k positif), semua ukuran ikut dikali k, kecuali ragam yang dikali k².

Tabel Distribusi Frekuensi dan Histogram

Kalau datanya puluhan atau ratusan, menulis satu per satu jelas merepotkan. Data lalu dikelompokkan ke dalam tabel distribusi frekuensi. Beberapa istilah yang wajib kamu kenal:

• Batas kelas: angka yang tertulis pada kelas, misalnya 171 dan 180 pada kelas 171–180.
• Tepi kelas: batas yang "dirapatkan" agar kelas bersambung tanpa celah. Tepi bawah = batas bawah − 0,5 dan tepi atas = batas atas + 0,5 (untuk data bulat). Untuk kelas 171–180, tepinya 170,5 dan 180,5.
• Panjang kelas p: selisih tepi atas dan tepi bawah, di sini 180,5 − 170,5 = 10.
• Titik tengah x_i: (batas bawah + batas atas)/2, misalnya (171 + 180)/2 = 175,5. Nilai ini mewakili semua datum di kelas itu.
• Frekuensi kumulatif fk: jumlah frekuensi dari kelas pertama sampai kelas tersebut.

Sebagai bahan contoh, berikut massa 40 buah jeruk hasil panen kebun praktik sekolah:

Massa (gram)	Frekuensi fi	Titik tengah xi	Frekuensi kumulatif
151–160	2	155,5	2
161–170	3	165,5	5
171–180	8	175,5	13
181–190	12	185,5	25
191–200	10	195,5	35
201–210	5	205,5	40

Histogram adalah diagram batang yang batangnya saling menempel, karena sumbu mendatarnya memakai tepi kelas yang bersambung. Tinggi tiap batang sama dengan frekuensi kelasnya.

Rumus Statistika Data Berkelompok

Pada data berkelompok, nilai asli tiap datum sudah tidak terlihat. Karena itu hasil perhitungannya berupa taksiran yang cukup akurat, dengan anggapan data tersebar merata di dalam setiap kelas.

Mean Data Berkelompok

x̄ = Σf_i·x_iΣf_i    dengan x_i = titik tengah kelas ke-i

Tentukan rata-rata massa 40 buah jeruk pada tabel di atas.

Lihat pembahasan

xi	fi	fi·xi
155,5	2	311
165,5	3	496,5
175,5	8	1.404
185,5	12	2.226
195,5	10	1.955
205,5	5	1.027,5
Jumlah	40	7.420

x̄ = 7.420/40 = 185,5 gram.

Median dan Kuartil Data Berkelompok

Langkahnya selalu sama: cari dulu letak kuartil (data ke-berapa), temukan kelas yang memuatnya lewat frekuensi kumulatif, lalu pakai rumus interpolasi.

Q_i = Tb + i·n/4 − fkf_Q · p     Median = Q₂

Keterangan: Tb = tepi bawah kelas kuartil, fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil, f_Q = frekuensi kelas kuartil, p = panjang kelas.

Dari data massa jeruk, tentukan Q₁, median, Q₃, dan jangkauan antarkuartilnya.

Lihat pembahasan

Q₁: letaknya data ke-¼ · 40 = 10. Frekuensi kumulatif 5 → 13, jadi data ke-10 ada di kelas 171–180. Tb = 170,5; fk = 5; f = 8.

Q₁ = 170,5 + (10 − 5)/8 · 10 = 170,5 + 6,25 = 176,75 gram.

Median: letak data ke-20, ada di kelas 181–190 (kumulatif 13 → 25). Tb = 180,5; fk = 13; f = 12.

Me = 180,5 + (20 − 13)/12 · 10 = 180,5 + 5,83 ≈ 186,33 gram.

Q₃: letak data ke-30, ada di kelas 191–200 (kumulatif 25 → 35). Tb = 190,5; fk = 25; f = 10.

Q₃ = 190,5 + (30 − 25)/10 · 10 = 195,5 gram.

JAK = 195,5 − 176,75 = 18,75 gram.

Modus Data Berkelompok

Modus berada di kelas dengan frekuensi terbesar. Posisi tepatnya di dalam kelas itu "ditarik" ke arah tetangga yang frekuensinya lebih besar.

Mo = Tb + d₁d₁ + d₂ · p

d₁ = frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas sebelumnya; d₂ = frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas sesudahnya.

Tentukan modus massa jeruk dari tabel yang sama.

Lihat pembahasan

Frekuensi terbesar 12 ada di kelas 181–190, sehingga Tb = 180,5.

d₁ = 12 − 8 = 4 dan d₂ = 12 − 10 = 2.

Mo = 180,5 + 4/(4 + 2) · 10 = 180,5 + 6,67 ≈ 187,17 gram.

Bandingkan ketiganya: x̄ = 185,5 < Me ≈ 186,33 < Mo ≈ 187,17. Histogramnya punya "ekor" lebih panjang di sisi kiri (beberapa jeruk kecil), sehingga mean tertarik ke kiri. Pola seperti ini disebut menceng ke kiri.

Ragam dan Simpangan Baku Data Berkelompok

s² = Σf_i(x_i − x̄)²Σf_i     s = √s²

Hitunglah ragam dan simpangan baku massa 40 buah jeruk tersebut.

Lihat pembahasan

Dari contoh sebelumnya, x̄ = 185,5.

xi	fi	xi − x̄	(xi − x̄)2	fi(xi − x̄)2
155,5	2	−30	900	1.800
165,5	3	−20	400	1.200
175,5	8	−10	100	800
185,5	12	0	0	0
195,5	10	10	100	1.000
205,5	5	20	400	2.000
Jumlah				6.800

s² = 6.800/40 = 170, sehingga s = √170 ≈ 13,04 gram.

Artinya, secara umum massa jeruk menyimpang sekitar 13 gram dari rata-ratanya.

Kesalahan yang Sering Terjadi

• Lupa mengurutkan data sebelum mencari median atau kuartil. Median dari data acak hampir pasti salah.
• Memakai batas kelas sebagai Tb. Pada rumus kuartil dan modus, Tb adalah tepi bawah (misalnya 180,5), bukan 181.
• Salah mengambil fk. fk adalah frekuensi kumulatif kelas sebelum kelas kuartil, bukan kumulatif kelas itu sendiri.
• Menulis d₂ negatif. d₁ dan d₂ dihitung dari kelas modus dikurangi tetangganya, jadi keduanya positif.
• Lupa mengakarkan ragam saat yang ditanya simpangan baku, atau sebaliknya.

Ringkasan Rumus Mean, Median, Modus, dan Simpangan

Ukuran	Data tunggal	Data berkelompok
Mean	Σxi/n	Σfixi/Σfi
Median	Datum tengah data urut	Q2 = Tb + ((n/2 − fk)/f)·p
Modus	Nilai paling sering muncul	Tb + (d1/(d1 + d2))·p
Kuartil	Median separuh bawah / atas	Tb + ((i·n/4 − fk)/f)·p
Ragam	Σ(xi − x̄)2/n	Σfi(xi − x̄)2/Σfi
Simpangan baku	s = √ragam

Latihan Mandiri

1. Banyak push-up dalam satu menit dari 9 siswa adalah 18, 25, 22, 30, 25, 19, 27, 25, 43. Tentukan mean, median, dan modusnya.
   Kunci jawaban

   Jumlah = 234, jadi x̄ = 234/9 = 26. Data urut 18, 19, 22, 25, 25, 25, 27, 30, 43, sehingga Me = data ke-5 = 25 dan modus = 25.

2. Tentukan Q₁, Q₂, Q₃, dan simpangan kuartil dari data 12, 7, 15, 9, 20, 11, 18, 14, 10, 16, 8.
   Kunci jawaban

   Data urut: 7, 8, 9, 10, 11, 12, 14, 15, 16, 18, 20. Q₂ = 12, Q₁ = median dari 7, 8, 9, 10, 11 = 9, Q₃ = median dari 14, 15, 16, 18, 20 = 16. Q_d = ½(16 − 9) = 3,5.

3. Hitunglah ragam dan simpangan baku dari data 3, 5, 6, 8, 13.
   Kunci jawaban

   x̄ = 35/5 = 7. Kuadrat simpangan: 16, 4, 1, 1, 36 dengan jumlah 58. s² = 58/5 = 11,6 dan s = √11,6 ≈ 3,41.

4. Rata-rata nilai 20 siswa kelas A adalah 76, sedangkan rata-rata 30 siswa kelas B adalah 81. Berapa rata-rata nilai gabungan kedua kelas?
   Kunci jawaban

   x̄_gab = (20 · 76 + 30 · 81)/50 = (1.520 + 2.430)/50 = 3.950/50 = 79.

5. Waktu tunggu (menit) 30 pelanggan di sebuah kedai fotokopi: 1–5 (4 orang), 6–10 (7 orang), 11–15 (10 orang), 16–20 (6 orang), 21–25 (3 orang). Tentukan median dan modusnya.
   Kunci jawaban

   p = 5. Median: letak data ke-15 ada di kelas 11–15 (Tb = 10,5; fk = 11; f = 10), Me = 10,5 + (15 − 11)/10 · 5 = 12,5 menit.

   Modus: kelas 11–15, d₁ = 10 − 7 = 3, d₂ = 10 − 6 = 4, Mo = 10,5 + 3/7 · 5 ≈ 12,64 menit.

Pertanyaan yang Sering Ditanyakan

Kapan sebaiknya memakai median daripada mean?

Pakai median kalau datanya mengandung nilai yang jauh berbeda dari kebanyakan data, misalnya data pendapatan atau harga rumah. Mean mudah tertarik oleh satu-dua nilai ekstrem, sedangkan median tetap menggambarkan posisi "orang di tengah".

Kenapa ragam dibagi n, padahal ada buku yang membagi n − 1?

Pembagi n dipakai bila data dianggap sebagai keseluruhan populasi, dan inilah yang umum di pelajaran SMA. Pembagi n − 1 dipakai untuk data sampel ketika kita ingin menaksir ragam populasi yang lebih besar. Ikuti petunjuk soal; jika tidak disebutkan, gunakan n.

Kenapa jawaban kuartilku berbeda dengan buku lain?

Untuk data tunggal, ada beberapa konvensi menentukan kuartil, terutama saat n genap. Hasilnya bisa berbeda sedikit, dan semuanya sah selama dipakai konsisten. Catatan ini membelah data di median; cara letak i(n + 1)/4 juga sering dipakai di buku sekolah.

Apakah simpangan baku bisa bernilai negatif?

Tidak. Ragam adalah rata-rata dari bilangan kuadrat sehingga tidak pernah negatif, dan simpangan baku adalah akar positifnya. Nilai s = 0 hanya terjadi jika semua datum sama persis.

Materi apa yang berkaitan dengan statistika?

Statistika berjalan beriringan dengan peluang: statistika merangkum data yang sudah terjadi, sedangkan peluang memperkirakan kemungkinan kejadian berikutnya. Lihat juga catatan Matematika lainnya.