Matriks: Ordo, Operasi, Determinan, Invers, dan Contoh Soal

Coba lihat tabel nilai rapor, jadwal pelajaran, atau papan klasemen liga sepak bola. Semuanya berupa angka yang disusun rapi dalam baris dan kolom. Di matematika, susunan seperti itu diberi nama matriks.

Matriks bukan sekadar cara menyimpan angka. Dengan matriks, kita bisa menyelesaikan sistem persamaan linear secara sistematis, dan konsep ini dipakai luas di grafika komputer, kriptografi, sampai kecerdasan buatan. Untuk soal sekolah dan UTBK, kuncinya ada di operasi hitung, determinan, dan invers. Yuk, bahas satu per satu.

Setelah membaca catatan ini, kamu bisa:

• Menentukan ordo dan elemen suatu matriks serta mengenali jenis-jenisnya.
• Menggunakan kesamaan dua matriks untuk mencari nilai variabel.
• Menjumlahkan, mengurangkan, dan mengalikan matriks dengan skalar maupun dengan matriks lain.
• Menentukan transpose, determinan 2×2 dan 3×3, serta invers matriks 2×2.
• Menyelesaikan persamaan matriks AX = B, XA = B, dan SPLDV dengan matriks.

Pengertian dan Ordo Matriks

Matriks adalah susunan bilangan berbentuk persegi panjang yang diatur dalam baris dan kolom, lalu diapit tanda kurung. Matriks biasanya diberi nama dengan huruf kapital (A, B, C), sedangkan bilangan di dalamnya disebut elemen.

A_m×n → m baris dan n kolom     a_ij = elemen pada baris ke-i, kolom ke-j

Perhatikan urutannya: baris dulu, baru kolom. Matriks dengan 2 baris dan 3 kolom berordo 2×3, bukan 3×2. Kesalahan kecil ini sering bikin jawaban perkalian matriks langsung meleset.

Diketahui A = 4−17052. Tentukan ordo A, elemen a₁₂, dan elemen a₂₃.

Lihat pembahasan

A punya 2 baris dan 3 kolom, sehingga ordonya 2×3.

a₁₂ ada di baris 1 kolom 2, yaitu −1. a₂₃ ada di baris 2 kolom 3, yaitu 2.

Jenis-Jenis Matriks

Beberapa matriks punya bentuk khusus dan sering muncul di soal. Kenali namanya supaya tidak bingung saat membaca soal.

Jenis	Ciri	Contoh
Matriks baris	Hanya punya 1 baris (ordo 1×n)	31−2
Matriks kolom	Hanya punya 1 kolom (ordo m×1)	5−1
Matriks persegi	Banyak baris = banyak kolom (ordo n×n)	2714
Matriks nol (O)	Semua elemennya 0	0000
Matriks diagonal	Persegi, elemen di luar diagonal utama bernilai 0	300−2
Matriks identitas (I)	Diagonal utama 1, lainnya 0	1001
Segitiga atas / bawah	Elemen di bawah / di atas diagonal utama bernilai 0	1406
Matriks simetris	Sama dengan transpose-nya (A = AT)	2553

Diagonal utama adalah elemen a₁₁, a₂₂, a₃₃, dan seterusnya, yaitu garis miring dari kiri atas ke kanan bawah. Diagonal ini hanya ada pada matriks persegi.

Kesamaan Dua Matriks

Dua matriks A dan B dikatakan sama (A = B) jika ordonya sama dan setiap elemen yang seletak nilainya sama. Sifat ini sering dipakai untuk mencari nilai variabel yang tersembunyi di dalam matriks.

Tentukan nilai x dan y jika x + y42x − y = 7421.

Lihat pembahasan

Samakan elemen yang seletak: x + y = 7 dan x − y = 1.

Jumlahkan kedua persamaan: 2x = 8 → x = 4. Substitusi: 4 + y = 7 → y = 3.

Penjumlahan, Pengurangan, dan Perkalian Skalar

Penjumlahan dan pengurangan hanya bisa dilakukan pada dua matriks yang ordonya sama. Caranya gampang: operasikan elemen-elemen yang seletak. Sementara itu, perkalian skalar berarti mengalikan setiap elemen dengan bilangan yang sama.

abcd ± pqrs = a ± pb ± qc ± rd ± s     kabcd = kakbkckd

Diketahui A = 2−134 dan B = 15−20. Tentukan 2A − B.

Lihat pembahasan

2A = 4−268.

2A − B = 4 − 1−2 − 56 − (−2)8 − 0 = 3−788.

Perkalian Dua Matriks

Inilah bagian yang paling sering bikin salah. Perkalian dua matriks tidak dilakukan elemen demi elemen, melainkan dengan aturan baris kali kolom: setiap baris matriks kiri dikalikan dengan setiap kolom matriks kanan, lalu hasilnya dijumlahkan.

A_m×n · B_n×p = C_m×p     c_ij = (baris ke-i dari A) · (kolom ke-j dari B)

Syaratnya: banyak kolom matriks kiri harus sama dengan banyak baris matriks kanan. Kalau ordonya ditulis berdampingan, dua angka di tengah harus sama, dan ordo hasilnya diambil dari dua angka di pinggir. Gambar berikut menunjukkan cara menghitung satu elemen hasil kali.

Diketahui A = 12340−1 dan B = 21031−2. Tentukan AB.

Lihat pembahasan

Ordo A 2×3 dan ordo B 3×2. Angka tengahnya sama (3), jadi perkalian bisa dilakukan dan hasilnya berordo 2×2.

• c₁₁ = 1·2 + 2·0 + 3·1 = 5
• c₁₂ = 1·1 + 2·3 + 3·(−2) = 1
• c₂₁ = 4·2 + 0·0 + (−1)·1 = 7
• c₂₂ = 4·1 + 0·3 + (−1)·(−2) = 6

Jadi AB = 5176.

Diketahui P = 1234 dan Q = 2013. Hitung PQ dan QP. Apakah hasilnya sama?

Lihat pembahasan

PQ = 1·2 + 2·11·0 + 2·33·2 + 4·13·0 + 4·3 = 461012.

QP = 2·1 + 0·32·2 + 0·41·1 + 3·31·2 + 3·4 = 241014.

Ternyata PQ ≠ QP. Inilah bukti bahwa perkalian matriks pada umumnya tidak komutatif, jadi urutan perkalian tidak boleh ditukar sembarangan.

Matriks identitas berperan seperti angka 1 dalam perkalian: AI = IA = A untuk setiap matriks persegi A yang ordonya sesuai.

Transpose Matriks

Transpose matriks A, ditulis A^T (kadang A′ atau A^t), diperoleh dengan menukar baris menjadi kolom. Baris pertama A menjadi kolom pertama A^T, baris kedua menjadi kolom kedua, dan seterusnya. Akibatnya, matriks berordo m×n akan memiliki transpose berordo n×m.

(A^T)^T = A     (A + B)^T = A^T + B^T     (AB)^T = B^TA^T

Tentukan transpose dari K = 13−2054.

Lihat pembahasan

Baris (1, 3, −2) menjadi kolom pertama dan baris (0, 5, 4) menjadi kolom kedua:

K^T = 1035−24, berordo 3×2.

Determinan Matriks

Determinan adalah sebuah bilangan yang dihitung dari matriks persegi, ditulis det(A) atau |A|. Nilai ini menentukan apakah suatu matriks punya invers atau tidak.

Determinan Matriks 2×2

A = abcd → det(A) = abcd = ad − bc

Mudah diingat: kali diagonal utama, lalu kurangi dengan hasil kali diagonal samping.

Tentukan determinan A = 3524.

Lihat pembahasan

det(A) = 3·4 − 5·2 = 12 − 10 = 2.

Determinan Matriks 3×3 dengan Metode Sarrus

Untuk ordo 3×3, cara yang paling populer di SMA adalah aturan Sarrus. Salin kolom pertama dan kedua ke sebelah kanan matriks, lalu:

1. Jumlahkan hasil kali tiga diagonal yang turun ke kanan (diberi tanda +).
2. Jumlahkan hasil kali tiga diagonal yang naik ke kanan (diberi tanda −).
3. Determinan = jumlah langkah 1 − jumlah langkah 2.

det(A) = (aei + bfg + cdh) − (ceg + afh + bdi)   untuk A = abcdefghi

Tentukan determinan B = 2130−14121.

Lihat pembahasan

Salin dua kolom pertama ke kanan: 2130−14121 210−112

Diagonal turun (+): 2·(−1)·1 + 1·4·1 + 3·0·2 = −2 + 4 + 0 = 2.

Diagonal naik (−): 3·(−1)·1 + 2·4·2 + 1·0·1 = −3 + 16 + 0 = 13.

det(B) = 2 − 13 = −11.

Sifat determinan yang sering keluar di soal: det(AB) = det(A) · det(B), det(A^T) = det(A), dan untuk matriks ordo n×n berlaku det(kA) = kⁿ · det(A).

Invers Matriks 2×2

Invers matriks A, ditulis A⁻¹, adalah matriks yang memenuhi A · A⁻¹ = A⁻¹ · A = I. Perannya mirip kebalikan bilangan: 5 × ⅕ = 1.

A = abcd → A⁻¹ = 1ad − bcd−b−ca

Polanya: tukar elemen diagonal utama, beri tanda negatif pada elemen diagonal samping, lalu kalikan dengan 1/det. Karena ada pembagian dengan determinan, matriks dengan det = 0 tidak punya invers dan disebut matriks singular. Matriks yang punya invers disebut nonsingular.

Tentukan invers dari A = 3524.

Lihat pembahasan

Dari contoh sebelumnya, det(A) = 2 (bukan nol, jadi invers ada).

A⁻¹ = 124−5−23 = 2−52−132.

Cek cepat: A · A⁻¹ = 6 − 5−152 + 1524 − 4−5 + 6 = 1001 = I. Cocok!

Persamaan Matriks AX = B dan XA = B

Matriks tidak punya operasi pembagian. Untuk "memindahkan" A, kita kalikan kedua ruas dengan A⁻¹. Karena perkalian matriks tidak komutatif, posisi A⁻¹ harus mengikuti posisi A.

AX = B → X = A⁻¹B      XA = B → X = BA⁻¹

Trik mengingatnya: A ada di kiri X, maka A⁻¹ juga ditaruh di kiri B. A ada di kanan X, maka A⁻¹ ditaruh di kanan B.

Tentukan matriks X yang memenuhi 2153X = 41112.

Lihat pembahasan

Bentuknya AX = B, jadi X = A⁻¹B. Determinan A = 2·3 − 1·5 = 1, sehingga A⁻¹ = 3−1−52.

X = 3−1−5241112 = 12 − 113 − 2−20 + 22−5 + 4 = 112−1.

Menyelesaikan SPLDV dengan Matriks

Sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) ax + by = p dan cx + dy = q bisa ditulis sebagai persamaan matriks:

abcdxy = pq → xy = 1ad − bcd−b−capq

Selain dengan invers, kamu juga bisa memakai aturan Cramer: x = D_x/D dan y = D_y/D, dengan D adalah determinan matriks koefisien, D_x adalah determinan saat kolom x diganti kolom konstanta, dan D_y saat kolom y yang diganti.

Selesaikan sistem 2x + 3y = 12 dan x − y = 1 menggunakan matriks.

Lihat pembahasan

Bentuk matriksnya: 231−1xy = 121.

Determinan koefisien: 2·(−1) − 3·1 = −5.

xy = 1−5−1−3−12121 = 1−5−12 − 3−12 + 2 = 1−5−15−10 = 32.

Jadi x = 3 dan y = 2. Dengan Cramer hasilnya sama: D_x = 12·(−1) − 3·1 = −15 dan D_y = 2·1 − 12·1 = −10, sehingga x = −15/−5 = 3 dan y = −10/−5 = 2.

Latihan Mandiri

1. Tentukan a + b jika 2a4b1 = 6341^T.
   Kunci jawaban

   Transpose ruas kanan: 6431. Jadi 2a = 6 → a = 3 dan b = 3, sehingga a + b = 6.

2. Diketahui A = 2−103 dan B = 142−1. Tentukan AB.
   Kunci jawaban

   AB = 2 − 28 + 10 + 60 − 3 = 096−3.

3. Hitung determinan C = 1203−12211 dengan metode Sarrus.
   Kunci jawaban

   Diagonal turun: (1)(−1)(1) + (2)(2)(2) + (0)(3)(1) = −1 + 8 + 0 = 7.

   Diagonal naik: (0)(−1)(2) + (1)(2)(1) + (2)(3)(1) = 0 + 2 + 6 = 8.

   det(C) = 7 − 8 = −1.

4. Tentukan matriks X yang memenuhi X4311 = 5497.
   Kunci jawaban

   Bentuknya XA = B, jadi X = BA⁻¹. det(A) = 4 − 3 = 1, sehingga A⁻¹ = 1−3−14.

   X = 54971−3−14 = 1121.

5. Tentukan semua nilai k agar matriks k43k + 1 merupakan matriks singular.
   Kunci jawaban

   Singular berarti determinannya nol: k(k + 1) − 12 = 0 → k² + k − 12 = 0 → (k + 4)(k − 3) = 0.

   Jadi k = −4 atau k = 3.

Ringkasan Rumus Matriks

Konsep	Rumus / Aturan
Ordo	m×n = banyak baris × banyak kolom
Penjumlahan & pengurangan	Ordo harus sama, operasikan elemen seletak
Perkalian dua matriks	Am×n · Bn×p = Cm×p, baris kali kolom, AB ≠ BA (umumnya)
Transpose	Baris jadi kolom; (AB)T = BTAT
Determinan 2×2	ad − bc
Determinan 3×3	Sarrus: (jumlah diagonal turun) − (jumlah diagonal naik)
Invers 2×2	A−1 = (1/(ad − bc)) · [d −b; −c a], syarat det ≠ 0
Persamaan matriks	AX = B → X = A−1B; XA = B → X = BA−1

Pertanyaan yang Sering Ditanyakan

Kenapa perkalian matriks tidak komutatif?

Karena aturannya baris kali kolom. Saat urutan ditukar, baris dan kolom yang dipasangkan juga berubah, sehingga hasilnya biasanya berbeda. Bahkan bisa terjadi AB terdefinisi tetapi BA tidak, misalnya A berordo 2×3 dan B berordo 3×4.

Apakah semua matriks punya determinan dan invers?

Tidak. Determinan dan invers hanya didefinisikan untuk matriks persegi. Di antara matriks persegi pun, hanya yang determinannya tidak nol yang punya invers. Matriks dengan determinan nol disebut singular.

Lebih cepat mana untuk SPLDV, invers matriks atau eliminasi-substitusi?

Untuk soal pilihan ganda biasa, keduanya sama cepat. Metode matriks (terutama aturan Cramer) unggul saat kamu hanya diminta satu variabel, misalnya nilai x saja. Bandingkan sendiri dengan cara biasa di materi sistem persamaan linear, lalu jelajahi catatan lain di label Matematika. Setelah matriks, kamu juga bisa lanjut ke transformasi geometri yang banyak memakai perkalian matriks.